Mời bà con giải bài BĐT này nha!...

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=<3
Chứng minh:
A= a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) =< 3/2

Bài này bí đường oay`.... Chơi trâu po` nhak!!!
Wj đồng lên bỏ kaj' mẫu ( dương mok`) => biến đổi tương đương y' => Hơi dài thì phải nhưng mà kiên trì síu thì nó ra 1 đống :
ab + ac + ca + a+ b+ c+3 hay sao ý kaj' đó thì dương >= 0 là đúng oy` => suy ra kaj' ban đầu đúng.
Nhưng mà nếu zy thì chẳng bjk a+b+c <= 3 làm j` nhy~???


Nal có cak nào nhanh nhanh mà hay hay chỉ bảo cho mọi người vs!!!

Hì, trước hết để ý rằng vai trò các số hạng ở VT trong BĐT độc lập với nhau, nên cơ bản ta có thể chia nhỏ VT ra. Đồng thời các số hạng của VT có dạng (a.1)/(a+1). Ta liên tưởng ngay đến BĐT sau:
Với a, b là các số thực dương ta có:
(a.b)/(a+b) =< (a+b)/4 (suy ra trực tiếp từ (a+b)^2 >= 4a.b)
Từ đó áp dụng ta có:
a/(a+1) = (a.1)/(a+1) =< (a+1)/4
b/(b+1) =< (b+1)/4
c/(c+1) =< (c+1)/4
Cộng theo vế suy ra:
VT =< (a+b+c+3)/4 =< (3+3)/4
Suy ra: VT =< 3/2
Đẳng thức khi a = b = c = 1
BĐT được chứng minh.

uhm humh...!
Đúng là lúc đầu mình cũng định chia nhỏ ra nhưng hok thể nào nhớ tới kaj' zụ:
ab/(a+b) =< (a+b)/4 lun đó!!! BĐT này tuy đơn giản ( mà hữu ik ) nhưng khi áp dụng để giải 1 bài nào đó riêng biệt thì khó có thể nghĩ tới lắm
Mà nè! Bài này có câu a) hem đó? Bình thường thì phải định hướng trước chứ!!!

Thấy Nal trong box Math của 4rum nổi bật lém nha...cho bjk wy' danh được hem?
trong nhju` bài BĐT # minh` thấy Nal sử dụng Cauchy điu luyện wa'...Paj' fuc!!! Kaj' này rất đáng học nè.....Nal làm mjk` liên tưởng tới kaj' "thằng Cosi" của thầy Luận wa' hòz...kon` học cấp 2 hem đó???
Riêng vs Cosi chắc nhận làm sư fu wa' ak`...
Chứ mấy bài kiu~ đó mình làm roy` ..lúc chưa học Cosi ak'...nên đụng dạng này toàn là bị ám ảnh kay` trâu po` biến đổi tương đương ,...vs lại xài BCS hem ak`...
Chắc phải tập lại Cosi roy`....hjk hjk!!!
ak mà hình như tụi mình chỉ dc xài Cosi bậc 2 trực típ ak`, kon` bậc 3 hay bậc n thì phải CM lại đó...chứ hem thoy là mất điểm...đúng hem taz???

Hì, cái gọi là quý danh đó tớ không nói được không...^^
Còn cái định hướng á, ở nhiều nơi khắp nước mình học sinh lớp 9 đã biết sử dụng thuần thục các BĐT phụ rồi, cần phải tập trước để sau này khỏi thấy ngợp.
BDDT cauchy rất lợi hại nếu biết sử dụng đúng cách và biết cách sử dụng. BĐT BCS (lợi hại không kém BĐT Cauchy) cũng có thể chứng minh bằng Cauchy với một ý tưởng khá hay...^^
Việc sử dụng BĐT phụ cần luyện tập nhiều, không thể muốn là được ngay đâu...

uhm..!!!
Nhưng mà Nal chưa trả lời câu hỏi của mjk`: kon` học cấp 2 hem đó?

hjhj
câu này tớ bí

hy`..hok chịu nói phải hem??? thoy cũng chẳng wan trọng...hok sao...vấn đề là ở chỗ tớ thắc mắc sao mà trâu zữ zy??? nếu mà lớp 9 thỳ phải trong đội tuyển Toán( kaj' này chắc là hok phải ), nếu lớp 8 thì .... thjk là zã man!!! => Nếu là người thường chắc học cấp 3


Ak sẵn tiện xài Cauchy giải bài này nhak
Cm:
a + 1/( (a-b)b) >= 3 ĐK: a>b>0

tớ ko phải dân toán ....hjc ko biết làm (

hyhy...yeahhhhh! Nal oy..sau khi học hỏi kinh nghjm làm bài của cậu thì....tớ vứt 1 xó hok thèm làm nữa => ngồi nghĩ vẫn vơ..tự nhiên nó ra trong 5' ..mà chưa chắc nữa..có j` góp ý nhak!
tks nhju`!

Note: các vế của all BĐT dưới đây đều dương nên mjk` khỏi giải thjk why giữ chìu >= nha:


a + 1/ (b(a-b) >= 3 (*)
<=> a + 1 + 1/ b(a-b) >= 4 ( cộng 2 vế vs 1 )
<=> ab(a-b) + b(a-b) + 1 >= 4b(a-b) ( wy đồng khử mẫu )
<=> b(a-b)(a+1) + 1 >= 4b(a-b) (**)
Áp dụng Cauchy cho 2 số ko âm b(a-b)(a+1) và 1, ta có:
VT (**) >= 2 căn ( b(a-b)(a+1) )

=> Ta CM : 2 căn ( b(a-b)(a+1) ) >= 4b(a-b) (1)
<=> b(a-b)(a+1) >= 4b(bình) (a-b)(bình)
<=> a+1 >= 4b(a-b)
<=> a >= 4ab - 4b(bình) -1
<=> a>= 4b(bình) -4b(bình) -1
(Vì a>b => 4ab >= 4b(bình)
<=> a>= -1 ( đương nhiên vì a dương mà )
=> (1) đúng
=> VT (**) >= 2 căn ( b(a-b)(a+1) ) >= 4b(a-b)
=> VT (**) >= 4b(a-b) = VP (**)
=> (**) đúng => (*) đúng
Vậy : ta có đpcm


Đó là cach' of tớ...hiện h chưa thấy sai sót j` cả nhưng bjk đâu được..

Nếu có j` thì phản bác lại liền nha!!!

keke cách j` thì share lun đi chớ

chắc phải nói thầy Luận làm thềm khung soạn thảo công thức toán học @@

He he. Tớ thấy bài giải có vấn đề ở một chỗ:
a>= 4ab - 4(b^2) - 1 <=> a >= 4.(b^2) - 4.(b^2) - 1
Chỗ đó có vấn đề á.
Nếu a > b thì từ a >= 4ab - 4.(b^2) - 1 có thể suy ra a > -1 theo cách của cậu. Nhưng chiều ngược lại có đúng không?
Từ a >= 4.(b^2) - 4.(b^2) -1, nếu thay 4.(b^2) bởi 4ab thì có phải VP đã được làm trội lên, và có thể vượt quá a luôn đúng không? Vậy chiều ngược lại chưa chặt. Dấu tương đương đó có vấn đề...
Có một cách giải đơn giản thế này nè. Đầu tiên hãy chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số không âm (cái này dễ mà). Sau đó ta tách:
a + 1/(b(a-b)) = (a-b) + b + 1/(b(a-b))
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số sẽ có
VT >= 3.(căn bậc ba ((a-b).b)/((a-b).b) = 3
BĐT được chứng minh. Dấu = khi a-b = b = 1/((a-b).b). Từ đó suy ra điều kiện của a, b để dấu = xảy ra.

Uk` haz..Cosi bậc 3..có zy mà hem nghĩ tới nữa....
Đơn giản wa'!!!
Cách of tớ đúng là có vần đề chỗ <=> ...nhưng mà sao zy taz?

Tớ làm đúng luật mà!!!

Mới nhìn thì có vẻ là đúng luật, nhưng thật sự là có vấn đề đó. Cậu nên hỏi thầy Luận để hiểu cặn kẽ hơn...^^

uk`..suy nghĩ lại roy`...
Vấn đề là ở chỗ nếu as Cm A>B mà B>C thì A>C là đúng
Kon` tớ CM tương đương mà A>C roy` nhưng lại hok tương đương vs kaj' ban đầu ( phải có cùng tập nghiệm ) nên nó sai...hyhy!!!
Học tập cách dùng Cosi bậc 3 ...
Bậc n chưa đụng bao giờ...có bài nào hok? post lên nhak'....

hjx, toàn dân trâu bò toán cả, e theo ko kịp

năm nay mới lên lớp 9 mà kon` nói j` nhok
mai mốt oy` pro hơn nhìu cho koj

phuthuynhox đã viết:

năm nay mới lên lớp 9 mà kon` nói j` nhok
mai mốt oy` pro hơn nhìu cho koj

chuyện tương lai chưa nói đc đâu à
e ko có tự tin cho lắm